De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat

vragen bekijken

een vraag stellen

hulpjes

zoeken

FAQ

links

twitter

boeken

help

inloggen

colofon

Reageren...

Re: Onderling onafhankelijke gebeurtenissen

Ik zou het bewijs moeten hebben van vierkantswortel twee is irrationaal, en ook het hulpbewijs, dat hulpbewijs zou gaan over dat als a² een tweevoud is, a ook een tweevoud is.
Alvast bedankt

Antwoord

Stel $\sqrt{2}$ = ^p/_q (p,q $\in$ N), waarbij de breuk niet meer vereenvoudigd kan worden. Dan geldt:

$\sqrt{2}$ = ^p/_q
2 = p²/q²
2·q² = p² (·)

Hieruit volgt dat p² even is. Maar dan moet p zelf even zijn (het kwadraat van een oneven getal is immers oneven (ga na)). Dus is p te schrijven als 2·a (a is de helft van p). Dan is p² gelijk aan 4·a².
Dan volgt uit (·):

2·q² = 4·a²
q²= 2·a²

Dus is q² even en dus is q zelf ook even.

Maar nu hebben we gevonden dat zowel p als q even zijn, en dus dat je beide kunt delen door 2. Dit is echter in strijd met de aanname dat de breuk p/q niet verder vereenvoudigd kan worden.

Conclusie:

Uit de aanname dat je $\sqrt{2}$ kunt schrijven als breuk volgt een tegenspraak. Dat betekent dat de aanname fout is, oftewel dat $\sqrt{2}$ niet als breuk te schrijven is. $\sqrt{2}$ is dus een irrationaal getal.

BRON: Pythagoras - wiskundetijdschrift

Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!

Reactie:
	Klik eerst in het tekstvlak voordat je deze knopjes en tekens gebruikt. Pas op: onderstaande knopjes en speciale karakters werken niet bij ALLE browsers! áâæàåãäßçéêèëíîìïñóôòøõöúûùüýÿ½¼¾€£®© $\forall$$\exists$$\neg$$\wedge$$\vee$$\Leftrightarrow$$\Leftarrow$$\Rightarrow$$\emptyset$$\cap$$\cup$$\supset$$\supseteq$$\not\subset$$\subset$$\subseteq$$\in$$\notin$ $\sim$$\equiv$$\ne$$\pm$$\times$$\div$$\otimes$$\oplus$$\pi$$\leftarrow$$\uparrow$$\to$$\downarrow$ $\sqrt{}$$\sum$$\prod$$\infty$$\smallint$$\Delta$$\nabla$$\partial$$\angle$$\bot$$\cong$$\widehat p$ $\alpha$$\beta$$\gamma$$\delta$$\varepsilon$$\phi$$\theta$$\lambda$$\mu$$\rho$$\sigma$$\tau$$\omega$$\chi$$\Gamma$$\vartheta$$\Lambda$$\Omega$$\Psi$$\zeta$ $\mathbf{N}$ $\mathbf{Z}$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$
Categorie:	Kansrekenen
Ik ben:	-------------- Maak een keuze --------------- Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo Leerling bovenbouw vmbo Leerling bovenbouw havo-vwo Leerling mbo Student hbo Student universiteit 1ste graad ASO-TSO-BSO Overige TSO-BSO 2de graad ASO 3de graad ASO Student Hoger Onderwijs België Student universiteit België Cursist vavo Docent Ouder Iets anders Beantwoorder
Naam:
Emailadres:
Datum:	18-5-2024